POPULASI DAN SAMPEL

1. Populasi (Population)

Population atau Universe adalah jumlah keseluruhan obyek (satuan-satuan atau individu-individu) yang karakteristiknya hendak diduga. Satuan-satuan atau individu-individu ini disebut unit analisa. Unit analisa mungkin merupakan orang, rumah tangga, tanah pertanian, perusahaan dan lain-lain dalam bentuk yang biasa dipakai dalam survei. Mungkin juga merupakan kartu punch atau hasil produksi mesin untuk berbagai jenis bentuk analisa. Unit analisa juga sering disebut elemen dari populasi.

Suatu penelitian mungkin sekali unit analisanya lebih dari satu, seperti rumah tangga dan orang, tanah pertanian dan luas panenan dalam hektar. Keterangan-keterangan (karakteristik) yang dikumpulkan dari unit analisa membentuk suatu data statistik.

2. Sampel (Sample)

Sampel adalah sebagian dari populasi yang karakteristiknya hendak diselidiki, dan dianggap bisa mewakili keseluruhan populasi (jumlahnya lebih sedikit daripada jumlah populasinya).

Satuan-satuan yang akan diteliti di dalam sampel dinamakan unit sampel. Unit sampel ini akan dipilih dari kerangka sampel. Unit sampel mungkin sama dengan unit analisa, tetapi mungkin juga tidak. Sebagai contoh misalnnya untuk mengumpulkan informasi tentang orang, dapat menggunakan daftar yang lengkap dari sensus dan mengambil sampel langsung dari daftar tersebut. Tetapi mungkin juga memilih rumah tangga sebagai unit analisa. Atau kita dapat memilih bangunan sebagai unit sampel, dan orang-orang yang berdiam dalam bangunan tersebut sebagai unit analisa.

3. Kerangka Sampel (Sampling Frame)

Keseluruhan unit sampel membentuk kerangka sampel dan dari sinilah anggota sampel dipilih. Kerangka sampel mungkin merupakan daftar dari kumpulan orang atau satuan perumahan, catatan dalam sebuah file, set dari kartu punch, atau mungkin sebuah peta di mana telah digambar unitnya secara jelas.

Di dalam kegiatan survei, populasinya terdiri dari semua orang atau semua perusahaan industri, semua usaha-usaha pertanian dan sebagainya dalam sebuah kota atau suatu tempat tertentu. Informasi didapatkan dari sebagian populasi (sampel) tetapi kesimpulan yang dibutuhkan adalah mengenai karakteristik-karakteristik dari seluruh populasi.

Karena kesimpulan dari sampel akhirnya dikenakan pada populasinya maka harus ada syarat-syarat tertentu di dalam pemilihan sampel. Syarat utamanya adalah sampel harus menjadi cermin dari populasi, sampel harus mewakili populasi, sampel harus merupakan populasi dalam bentuk kecil (miniature population). Kalau syarat tersebut tidak dipenuhi, kesimpulan mengenai populasi tidak dapat dipertanggungjawabkan secara ilmiah. Kesimpulannya akan menyimpang (biased conclusion).

4. Teknik Sampling

Teknik sampling memang sangatlah penting untuk diperlukan di dalam penelitian, hal ini dikarenakan bisa digunakan untuk menentukan bahwa siapa saja anggota dari populasi yang akan dijadikan sampel. Oleh karena itu teknik sampling memang harus jelas tergambar dalam sebuah rencana penelitian supaya tidak membingungkan pada saat kita terjun di lapangan. Pada dasarnya teknik sampling dikelompokkan menjadi dua bagian yaitu :

-          Probability Sampling = teknik untuk pengambilan sampel yang akan memberikan peluang sama untuk setiap anggota populasi yang bisa dipilih menjadi anggota sampel. Probability sampling sendiri terdiri atas 4 macam, yaitu :

• Simple Random Sampling

Dikatakan simpel atau sederhana dikarenakan dalam pengambilan sampel dari populasi itu memang dilakukan secara acak tanpa  harus memperhatikan strata.

Contoh: misal ada “pembiayaan pembangunan pendidikan Dasar di Jawa Barat”, sampelnya adalah seluruh SD dan SMP yang ada di Jawa Barat. Terhadap seluruh SD dan SMP itu dilakukan pemilihan secara random tanpa pengelompokan terlebih dahulu, dengan demikian peluang SD maupun SMP untuk terpilih sebagai sampel sama.

• Proportionate Stratified Random Sampling

Salah satu teknik yang digunakan apabila populasi memiliki unsur/anggota yang tidak berstrata dan homogen secara proporsional.

Contoh : Jumlah pegawai yang lulus S1=45 orang, S2=30, STM=800, ST=900, SMEA=400, SD=300. Jumlah sampel yang harus diambil meliputi Strata pendidikan tersebut yang diambil secara proporsional jumlah sampel.

• Disproportionate Random Sampling

Teknik yang digunakan dalam menentukan jumlah dari sampel, apabila populasi itu berstrata namun kurang proporsional.

Contoh: Pegawai dari PT. X memiliki 3 orang lulusan S3, 4 Orang lulusan S2, 90 orang lulusan S1, 800 orang lulusan SMU, 700 orang lulusan SMP, maka 3 orang lulusan S3 dan 4 orang lulusan S2 itu diambilsemuanya sebagai sampel. Karena dua kelompok tersebut terlalu kecil bila dibandingkan dengan kelompok lainnya.

• Area Sampling atau Cluster Sampling

Teknik yang digunakan dalam menentukan sampel apabila objek yang hendak diteliti atau sumber dari datanya sangat luas.

Contoh : Misalnya dalam penelitian yang sama seperti di atas, karena Jawa Barat sangat luas, dipilihlah kabupaten/kota tertentu sebagai sampel klaster ke-1 secara random. Dari tiap kabupaten terpilih dilakukan pemilihan lagi, yaitu kecamatan-kecamatan tertentu dengan cara random sebagai sampel klaster ke-2. Selanjutnya dari masing-masing kecamatan dilakukan pemilihan sekolah yang juga dilakukan secara random.

Contoh Lain : Misalnya seorang marketing manajer sebuah stasiun TV ingin mengetahui tingkat penerimaan masyarakat Jawa Barat atas sebuah mata tayangan, teknik pengambilan sampel dengan area sampling sangat tepat.

-          Non Probability Sampling = teknik yang digunakan untuk pengambilan sampel yang tidak memberi kesempatan atau peluang yang sama untuk setiap anggota populasi yang bisa dipilih menjadi anggota sampel. Nonprobability sampling terdiri atas 6 macam, yaitu :

• Sampling Sistematis

Sampling sistematis merupakan teknik untuk pengambilan sampel dengan berdasarkan urutan dari anggota populasi yang sudah diberikan nomor urutan.

Contoh : Misalnya  setiap unsur populasi yang keenam, yang bisa dijadikan sampel. Soal “keberapa”-nya satu unsur populasi bisa dijadikan sampel tergantung pada  ukuran populasi dan ukuran sampel. Misalnya, dalam satu populasi terdapat 5000 rumah. Sampel yang akan diambil adalah 250 rumah dengan demikian interval di antara sampel kesatu, kedua, dan seterusnya adalah 25.

• Sampling Kuota

Sampling kuota merupakan teknik penentuan sampel dari populasi yang memiliki ciri-ciri tertentu hingga mencapai jumlah kuota tertentu.

Contoh : Misalnya, di sebuah kantor terdapat pegawai laki-laki 60%  dan perempuan 40% . Jika seorang peneliti ingin mewawancari 30 orang pegawai dari kedua jenis kelamin tadi maka dia harus mengambil sampel pegawai laki-laki sebanyak 18 orang sedangkan pegawai perempuan 12 orang. Sekali lagi, teknik pengambilan ketiga puluh sampel tadi tidak dilakukan secara acak, melainkan secara kebetulan saja.

• Sampling Insidental

Sampling Insidental merupakan teknik untuk menentukan sampel dengan berdasarkan kebetulan.

Contoh:

Penelitian tentang pendapat umum mengenai pemilu dengan menggunakan setiap warga Negara yang telah dewasa sebagai unit sampling

• Purposive Sampling

Sampling purposive merupakan teknik yang paling sesuai dengan pertimbangan tertentu.

Contoh : Misalnya yang diperlukan sebagai sampel adalah “perempuan pengguna sepeda motor tipe laki-laki (bukan bebek dan sejenisnya)”–karena yang sedang dicari (jadi, populasinya) adalah perempuan-perempuan pengguna sepeda motor tipe laki-laki. Hati-hati, populasinya bukan semua pengguna sepeda motor, sepeda motor jenis atau tipe apapun. Hati-hati pula, bukan “pengguna motor: kasus perempuan pengguna motor laki-laki.” Juga hati-hati: bukan pengguna sepeda motor laki-laki: kasus perempuan. Populasinya semua perempuan pengguna sepeda motor laki-laki (artinya, atau definisi operasionlanya: perempuan yangselalu atau sering kali jika bepergian menggunakan sepeda motor jenis itu, apapun yang menjadi latar belakangnya).

• Sampling Jenuh

Sampling jenuh merupakan teknik untuk menentukan sampel apabila seluruh anggota populasi digunakan untuk sampel.

Contoh : Populasi kurang dari 30 orang, maka semua anggota populasi tersebut dijadikan sampel.

• Snowball Sampling

Snowball sampling merupakan teknik untuk menentukan sampel yang awal mulanya berjumlah kecil, yang kemudian semakin membesar.

Contoh : Misalnya seorang peneliti ingin mengetahui pandangan kaum lesbian terhadap lembaga perkawinan. Peneliti cukup mencari satu orang wanita lesbian dan kemudian melakukan wawancara. Setelah selesai, peneliti tadi minta kepada wanita lesbian tersebut untuk bisa mewawancarai teman lesbian lainnya. Setelah jumlah wanita lesbian yang berhasil diwawancarainya dirasa cukup, peneliti bisa mengentikan pencarian wanita lesbian lainnya. . Hal ini bisa juga dilakukan pada pencandu narkotik, para gay, atau kelompok-kelompok sosial lain yang eksklusif (tertutup)

PENENTUAN JUDUL PENELITIAN

1. Unit Analisis

-          Individu. Pengaruh Kenaikan Harga BBM dengan Penjualan Kendaraan Bermotor

-          Kelompok.  Analisis Bantuan Modal dan Kredit bagi Kelompok Pedagang Ikan

-          Organisasi Contoh: Pengaruh Pergantian Ketua Jurusan terhadap Jalannya Organisasi Kemahasiswaan Jurusan.

-          Institusi. Contoh: Pengaruh Penggunaan Sistem Operasi terhadap Perusahaan BUMN

2. Metode Penelitian

-          Korelasional

• Terdapat kata “Hubungan” dalam judul penelitian
• Perhitungan menggunakan analisa Regresi

-          Kausal

• Terdapat kata “Pengaruh” dalam judul penelitian
• Menggunakan analisa perhitungan Path analisis

Daftar Pustaka :
Purwanto & Suharyadi, (2007), Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern ed 2, Jakarta: Salemba Empat
http://dewiharyantisiwa.blogspot.com/p/sample-secara-non-random-v-purposive.html
http://mistercela21.wordpress.com/2009/10/04/teknik-sampling/

KURVA NORMAL

Kurva normal adalah satu model distribusi dari sejumlah kemungkinan distribusi. Hal ini diseb abkan karena penggunaan konsep kurva normal sangat luas dan dijadikan sebagai alat yang sangat penting dalam pengembangan suatu teori, konsep kurva normal juga memberikan status khusus dalam pengembangan kaidah-kaidah ilmiah. Kurva normal bukan hanya satu kurva, melainkan mempunyai sejumlah kurva yang tidak terbatas yang mungkin dapat dibuat, dan semua itu dideskripsikan dengan suatu persamaan aljabar berikut.

atau bisa juga menggunakan persamaan :

Persamaan di atas dapat membuat para pelajar menjadi panik dan/atau mengalami kesulitan untuk memahami konsep kurva normal. Secara umum, pemahaman atas persamaan aljabar ini tidak menjadi kebutuhan atau diperlukan untuk mengapresiasi dan menggunakan kurva normal. Namun demikian persamaan ini perlu dijelaskan untuk memahami bagaimana konsep dan aplikasi suatu kurva normal.

Pertama, penggunaan simbol-simbol dalam persamaan ini dimaksudkan untuk menyederhanakan proses perhitungan. Simbol-simbol itu termasuk “2″. “p”, dan “e”. Lambang “e” untuk menunjukkan adanya perhitungan dengan bilangan irasional atau untuk menunjukkan batasan yang sangat panjang. Hal ini dimungkinakn untuk menunjukkan “sejumlah keunikan”, dalam kasus “e” ini, yang menunjukkan “kekuatan khusus”.

Kedua, adanya sekumpulan simbol yang menjadi kepedulian termasuk simbol “X”, yaitu melambangkan variabel responden untuk suatu skor nilai. Tinggi dari suatu kurva pada satu titik merupakan fungsi dari X (fx). Ketiga, dua simbol terakhir dalam persamaan adalah “mu (μ) lambang dari rata-rata ” dan “sigma (σ) lambang dari stadar deviasi” kedua lambang ini disebut dengan parameter atau nilai-nilai. Kedua parameter ini memberikan kemungkinan pembuatan kurva normal menjadi tidak terbatas, yaitu dengan menghubungkan kedua parameter ini. Dalam hal ini konsep parameter menjadi sangat penting dan perlu diperhatikan secara sungguh-sungguh.

Keluarga Distribusi

Kurva normal merupakan salah satu bentuk (anggota keluarga) dari sekian banyak (tidak terbatas) pola distribusi. Model setiap anggota keluarga ditentukan oleh seperangkat parameter (μ dan σ) dengan nilai (perhitungan) khusus. Sebab parameter σ dapat ditempatkan pada suatu nilai, posisitf atau negatif, dan parameter μ mempunyai nilai posisitf, hubungan dari kedua parameter ini membuat keluarga kurva normal menjadi luas sekali yang mempunyai anggota anggota tidak terbatas. Atas dasar itu, kurva normal diusulkan menjadi suatu model umum, karena asumsi kurva normal mampu menjelaskan sejumlah besar fenomena yang terjadi secara alami, mulai dari skor tes sampai ke fenomena bintang-bintang di langit.

Kesamaan Anggota Keluarga Kurva Normal

Anggota keluarga kurva normal sangat bervariasi mempunyai perbedaan, akan tetapi mempunyai sejumlah sifat-sifat umum yang sama, sifat-sifat umum ini disebut juga dengan kesamaan anggota keluarga kurva normal. Kesamaan (sifat-sifat umum ini) mencakup: bentuk simetri, mendekat ke ujung tetapi tidak pernah bersentuhan dengan sumbu X (asimtot), dan mempunyai wilayah di bawah kurva.

Dalam hal bentuk, semua anggota keluarga kurva normal mempunyai kesamaan yaitu berbentuk “lonceng”, kemudian sumbu X mempunyai kesamaan skala yang tepat. Sebagian besar wilayah di bawah kurva berada di sekitar titik tengan atau rata-rata. Ujung garis distribusi mendekat ke sumbu X tetapi tidak pernah menyentuh, dan luas wilayah di bawah kurvanya sangat kecil.

Kesamaan dalam hal simetris, semua anggota keluarga kurva normal berada pada dua sisi sejajar dan simetris. Artinya, jika satu kurva normal digambarkan pada permukaan kertas dua dimensi, maka jika kertas itu dilipat pada garis tengahnya (garis rata-rata) maka kedua sisi kurva normal itu harus tepat sama. Keadaan simetris ini juga tergambar dalam struktur tubuh manusia, secara umum dalam posisi sejajar atau mendekati simetris antara sisi kiri dan kanan. Begitu juga dalam perkembangan kehidupan manusia baik individual maupun sosial.

Semua keluarga kurva normal mempunyai ekor mendekati sumbu X, tetapi tidak pernah menyentuhnya. Implikasinya, dibagian manapun suatu titik yang berada pada kurva (arah positif atau negatif) tetap saja mempunyai wilayah yang berada di bawah kurva normal. Oleh karena itu, gambar dari satu kurva normal harus mempunyai panjang garis yang tidak berhingga. Sehingga untuk mengeahui luas wilayah yang berada di bawah kurva normal harus dilihat dari suatu rentang yang dibatasi oleh sejumlah garis, hanya sebagaian kecil dari segmen garis yang digambarkan untuk kurva normal khusus.

Semua anggota keluarga kurva normal mempunyai total wilayah di bawah kurva sama dengan satu (1.00) , seperti yang terjadi pada model-model kemungkinan atau distribusi frekuensi. Sifat ini, menjadi tambahan pada sifat simetri, implikasinya bahwa wilayah pada setiap setengah dari distribusi adalah 0,50 atau setengah.

MENGENAL DISTRIBUSI NORMAL DAN CARA MEMBACA TABEL DISTRIBUSI NORMAL

Distribusi normal merupakan salah satu distribusi probabilitas yang penting dalam analisis statistika. Distribusi ini memiliki parameter berupa mean dan simpangan baku. Distribusi normal dengan mean = 0 dan simpangan baku = 1 disebut dengan distribusi normal standar. Apabila digambarkan dalam grafik, kurva distribusi normal berbentuk seperti genta (bell-shaped) yang simetris. Perhatikan kurva distribusi normal normal standar berikut:

Sumbu X (horizontal) memiliki range (rentang) dari minus takhingga (‒∞) hingga positif takhingga (+∞). Kurva normal memiliki puncak pada X = 0. Perlu diketahui bahwa luas kurva normal adalah satu (sebagaimana konsep probabilitas). Dengan demikian, luas kurva normal pada sisi kiri = 0,5; demikian pula luas kurva normal pada sisi kanan = 0,5.

Dalam analisis statistika, seringkali kita menentukan probabilitas kumulatif yang dilambangkan dengan notasi P (X<x). Sebagai contoh, P (X<1), apabila diilustrasikan dengan grafik adalah luas kurva normal dari minus takhingga hingga X = 1.

Secara matematis, probabilitas distribusi normal standar kumulatif dapat dihitung dengan menggunakan persamaan :

Akan tetapi, kita lebih mudah dengan bantuan tabel distribusi normal. Berikut adalah tabel distribusi normal standar, untuk P (X < x), atau dapat diilustrasikan dengan luas kurva normal standar dari X = minus takhingga sampai dengan X = x.

Contoh penggunaan: Hitung P (X<1,25) Penyelesaian: Pada tabel, carilah angka 1,2 pada kolom paling kiri. Selanjutnya, carilah angka 0,05 pada baris paling atas. Sel para pertemuan kolom dan baris tersebut adalah 0,8944. Dengan demikian, P (X<1,25) adalah 0,8944.






DAFTAR PUSTAKA :
Purwanto & Suharyadi, (2007), Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern ed 2, Jakarta: Salemba Empat
http://analisis-statistika.blogspot.com/2013/03/mengenal-distribusi-normal-dan-cara.html
http://asumsi-kurva-normal.blogspot.com/

PENGANTAR PELUANG

Statistika adalah ilmu yang mempelajari bagaimana merencanakan, mengumpulkan, menganalisis, menginterpretasi, dan mempresentasikan data. Singkatnya, statistika adalah ilmu yang berkenaan dengan data. Istilah ‘statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ‘statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data.

Dari kumpulan data, statistika dapat digunakan untuk menyimpulkan atau mendeskripsikan data; ini dinamakan statistika deskriptif. Sebagian besar konsep dasar statistika mengasumsikan teori probabilitas. Beberapa istilah statistika antara lain: populasi, sampel, unit sampel, dan probabilitas.

DEFINISI PROBABILITAS

Harga angka yang menunjukkan seberapa besar kemungkinan suatu peristiwa terjadi, di antara keseluruhan peristiwa yang mungkin terjadi.

• Contoh 1:Sebuah mata uang logam mempunyai sisi dua (H & T) kalau mata uang tersebut dilambungkan satu kali, peluang untuk keluar sisi H adalah ½.
• Contoh 2:Sebuah dadu untuk keluar mata ‘lima’ saat pelemparan dadu tersebut satu kali adalah 1/6 (karena banyaknya permukaan dadu adalah 6)

Rumus :

P (E) = X/N

P: Probabilitas

E: Event (Kejadian)

X: Jumlah kejadian yang diinginkan (peristiwa)

N: Keseluruhan kejadian yang mungkin terjadi

Di dalam suatu pabrik ada 30 wanita dan 70 laki-laki. Sehabis makan siang yang disediakan pabrik akan ditanyakan “apakah makanan tadi cukup baik”. Untuk itu akan di undi (di acak) siapa orang yang akan ditanyakan pendapatnya. Probabilitas akan terambil seorang buruh wanita adalah 30/100 -> P (0,3)

Probabilitas yang rendah menunjukkan kecilnya kemungkianan suatu peristiwa akan terjadi.

Probabilitas adalah suatu perhitungan yang didasarkan pada peluang atau kemungkinan.Manfaat mempelajari probabilitas sangat berguna untuk pengambilan keputusan yang tepat, karena kehidupan di dunia tidak ada kepastian, sehingga diperlukan untuk mengetahui berapa besar probabilitas suatu peristiwa akan terjadi. Probabilitas dinyatakan dalam angka pecahan antara 0 sampai 1 atau dalam persentase.

Beberapa istilah penting dalam probabilitas adalah:

• Percobaan
• Hasil
• Peristiwa

Ada tiga pendekatan dalam menentukan probabilitas yaitu:

1. Pendekatan klasik yang memberikan probabilitas yang sama.
2. Pendekatan frekuensi relatif yang memperhatikan kejadian yang telah terjadi.
3. Pendekatan subjektif berdasarkan penilaian individu.

1. PENDEKATAN KLASIK

Probabilitas/peluang merupakan banyaknya kemungkinan-kemungkinan pada suatu kejadian berdasarkan frekuensinya.

Jika ada a kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A dan ada b kemungkinan yang dapat terjadi pada kejadian A, serta masing-masing kejadian mempunyai kesempatan yang sama dan saling asing, maka probabilitas/peluang bahwa akan terjadi a adalah:

P (A) = a/a+b ; dan peluang bahwa akan terjadi b adalah:  P (A) = b/a+b

Contoh:

Pelamar pekerjaan terdiri dari 10 orang pria (A) dan 15 orang wanita (B). Jika yang diterima hanya 1, berapa peluang bahwa ia merupakan wanita?

Jawab:

P (A) = 15/10+15 = 3/5

2. PENDEKATAN FREKUENSI RELATIF

Nilai probabilitas/peluang ditentukan atas dasar proporsi dari kemungkinan yang dapat terjadi dalam suatu observasi/percobaan (pengumpulan data).

Jika pada data sebanyak N terdapat a kejadian yang bersifat A, maka probabilitas/peluang akan terjadi A untuk N data adalah: P (A) = a/N

Contoh:

Dari hasil penelitian diketahui bahwa 5 orang karyawan akan terserang flu pada musim dingin. Apabila lokakarya diadakan di Puncak, berapa probabilitas terjadi 1 orang sakit flu dari 400 orang karyawan yang ikut serta?

Jawab:

P (A) = 5/400 = P (A) = 1/80

3. PENDEKATAN SUBYEKTIF

Nilai probabilitas/peluang adalah tepat/cocok apabila hanya ada satu kemungkinan kejadian terjadi dalam suatu kejadian ditentukan berdasarkan tingkat kepercayaan yang bersifat individual (misalnya berdasarkan pengalaman).

Probabilitas disajikan dengan symbol P, sehingga P(A) menyatakan probabilitas bahwa kejadian A akan terjadi dalam observasi atau percobaan tunggal, dengan 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Dalam suatu observasi/percobaan kemungkinan kejadian ada 2, yaitu “terjadi (P(A)) atau “tidak terjadi” (P(A)’), maka jumlah probabilitas totalnya adalah P(A) + P(A)’ = 1

Dalam perhitungan probabilitas ada beberapa asas peristiwa yang sering terjadi, yaitu:

1. Asas peristiwa mutually exclusive.
2. Asas peristiwa non exclusive (tidak saling asing).
3. Asas peristiwa independen (bebas) yang mencakup tiga bagian: marginal, gabungan, dan peluang bersyarat.
4. Dependen , yang terbagi dalam tiga bagian: marginal, gabungan, dan peluang bersyarat.

Ruang sampel adalah alternatif dari seluruh kejadian dalam beberapa percobaan yang dilakukan berulangkali.
Distribusi probabilitas (peluang) adalah sebuah daftar dari keseluruhan hasil suatu percobaan kejadian yang disertai dengan nilai probabilitas masing-masing hasil (event).
Perhitungan Nilai Peluang Hukum Probabilitas
Asas perhitungan probabilitas dengan berbagai kondisi yang harus diperhatikan:
1. Hukum Pertambahan

terdapat 2 kondisi yang harus diperhatikan yaitu:

• Mutually Exclusive (saling meniadakan)

Rumus: P (A U B) = P (A atau B)= P (A) + P (B)

Contoh:

Probabilitas untuk keluar mata 2 atau mata 5 pada pelemparan satu kali sebuah dadu adalah:

P(2 U 5) = P (2) + P (5) = 1/6 + 1/6 = 2/6

• Non Mutually Exclusive (dapat terjadi bersama)

Peristiwa Non Mutually Exclusive (Joint) dua peristiwa atau lebih dapat terjadi bersama-sama (tetapi tidak selalu bersama. Contoh penarikan kartu as dan berlian

P (A U B) =P(A) + P (B) – P(A ∩B)

Peristiwa terjadinya A dan B merupakan gabungan antara peristiwa A dan peristiwa B. Akan tetapi karena ada elemen yang sama dalam peristiwa A dan B, gabungan peristiwa A dan B perlu dikurangi peristiwa di mana A dan B memiliki elemen yang sama.

Dengan demikian, probabilitas pada keadaan di mana terdapat elemen yang sama antara peristiwa A dan B maka probabilitas A atau B adalah probabilitas A ditambah probabilitas B dan dikurangi probabilitas elemen yang sama dalam peristiwa A dan B.

2. HUKUM PERKALIAN

Terdapat dua kondisi yang harus diperhatikan apakah kedua peristiwa tersebut saling bebas atau bersyarat.

• Peristiwa Bebas (Independent)

Apakah kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa tidak mempengaruhi peristiwa lain. Contoh: Sebuah coin dilambungkan 2 kali maka peluang keluarnya H pada lemparan pertama dan pada lemparan kedua saling bebas.

P(A ∩B) = P (A dan B) = P(A) x P(B)

Contoh soal 1:

Sebuah dadu dilambungkan dua kali, peluang keluarnya mata 5 untuk kedua kalinya adalah:

P (5 ∩ 5) = 1/6 x 1/6 = 1/36

Contoh soal 2:

Sebuah dadu dan koin dilambungkan bersama-sama, peluang keluarnya hasil lambungan berupa sisi H pada koin dan sisi 3 pada dadu adalah:

P (H) = ½, P (3) = 1/6

P (H ∩ 3) = ½ x 1/6 = 1/12

• Peristiwa tidak bebas (Hk. Perkalian)

Peristiwa tidak bebas > peristiwa bersyarat (Conditional Probability).

Dua peristiwa dikatakan bersyarat apabila kejadian atau ketidakjadian suatu peristiwa akan berpengaruh terhadap peristiwa lainnya.

Contoh: Dua buah kartu ditarik dari set kartu bridge dan tarikan kedua tanpa memasukkan kembali kartu pertama, maka probabilitas kartu kedua sudah tergantung pada kartu pertama yang ditarik.

Simbol untuk peristiwa bersyarat adalah P (B│A) -> probabilitas B pada kondisi A

P(A ∩B) = P (A) x P (B│A)

Contoh :

Dua kartu ditarik dari satu set kartu bridge, peluang untuk yang tertarik keduanya kartu as adalah sebagai berikut: Peluang as I adalah 4/52 -> P (as I) = 4/52

Peluang as II dengan syarat as I sudah tertarik adalah 3/51

P (as II │as I) = 3/51

P (as I ∩ as II) = P (as I) x P (as II│ as I) = 4/52 x 3/51 = 12/2652 =1/221

Prinsip Menghitung

• Faktorial Bilangan Asli

Definisi : Hasil perkalian semua bilangan bulat positif secara berurutan dari 1 sampai dengan n disebut n faktorial. Dari definisi faktorial tersebut, maka dapat dituliskan prinsip menghitung faktorial sebagai berikut :

n ! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … 3 x 2 x 1
n ! dibaca n faktorial

Telah diambil kesepakatan bahwa : 0 ! = 1

Contoh:

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

• Kombinasi

Kombinasi adalah campuran atau gabungan atau susunan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan yang tidak mementingkan urutan elemen.

Kombinasi dapat dirumuskan sebagai berikut :

n = n! /r ! ( n – r )!

Contoh :

Untuk pemilihan 4 mahasiswa menjadi pengurus himpunan mahasiswa jurusan matematika FMIPA UNM terdapat 8 mahasiswa prodi pendidikan matematika dan 6 mahasiswa prodi matematika yang memenuhi syarat untuk dipilih. Berapa banyak cara memilih pengurus bila semua anggota pengurus dari prodi yang sama?

Jawaban :

Dari prodi pendidikan matematika 8 orang, harus dipilih 4 orang. Berarti kita hitung dengan menggunakan C (8,4) = 70 cara

Sedangkan dari prodi matematika, kita dapat memilih dengan C (6,4) = 6!/2!4! = 36x5x4!/2×4! = 15 cara.

Sehingga jika yang terpilih adalah mahasiswa dari prodi yang sama, kemungkinan banyak cara memilih adalah C (8,4) + C (6,4) = 70 + 15 = 85 cara.

• Permutasi

Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan. Di dalam permutasi, urutan diperhatikan.

{1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {3,1,2}

Contoh:

Ada sebuah kotak berisi 3 bola masing-masing berwarna merah, hijau dan biru. Jika seorang anak ditugaskan untuk mengambil 2 bola secara acak dan urutan pengambilan diperhatikan, ada berapa permutasi yang terjadi?

Jawaban:

Ada 6 permutasi yaitu; M-H, M-B, H-M, H-B, B-M, B-H.

Permutasi Tanpa Pengulangan

Jika urutan diperhatikan dan setiap objek yang tersedia hanya bisa dipilih atau dipakai sekali maka jumlah permutasi yang ada adalah:

di mana n adalah jumlah objek yang dapat kamu pilih, r adalah jumlah yang harus dipilih dan ! adalah simbol faktorial.

Contoh:

ada sebuah pemungutan suara dalam suatu organisasi. Kandidat yang bisa dipilih ada lima orang. Yang mendapat suara terbanyak akan diangkat menjadi ketua organisasi tersebut. Yang mendapat suara kedua terbanyak akan diangkat menjadi wakil ketua. Dan yang mendapat suara ketiga terbanyak akan menjadi sekretaris. Ada berapa banyak hasil pemungutan suara yang mungkin terjadi? Dengan menggunakan rumus di atas maka ada 5!/(5-3)! = 60 permutasi.

Umpamakan jika n = r (yang menandakan bahwa jumlah objek yang bisa dipilih sama dengan jumlah yang harus dipilih) maka rumusnya menjadi:

  karena 0! = 1! = 1

Contoh:

ada lima kotak kosong yang tersedia. Kelima kotak kosong itu harus diisi (tidak boleh ada yang kosong). Kelima kotak kosong itu hanya boleh diisi dengan angka 1,2,3,4,5. Ada berapa banyak cara untuk mengisi kotak kosong? Dengan menggunakan rumus n! maka ada 5! = 120 permutasi.

Permutasi Pengulangan (dari unsur-unsur yang sama)

Dari huruf-huruf pada kata MATEMATIKA, berapa banyaknya pasangan huruf yang dapat dibentuk? Jika mengingat kembali tentang permutasi, seharusnya banyaknya pasangan yang dapat dibentuk adalah sebanyak 10! pasangan.

Namun, apakah M₁A₁TEM₂A₂TIKA₃ sama dengan M₁A₃TEM₂A₂TIKA₁?

Ambil P sebagai jumlah permutasi berbeda untuk kesepuluh huruf.  Jumlah permutasi dari kedua huruf M adalah 2! dan jumlah permutasi dari ketiga huruf A adalah 3!  Sehingga jumlah total permutasi adalah  2! x 3! x P.

Dengan demikian, diperoleh : 2!3!P = 10! Sehingga :

 

Contoh tersebut mengantarkan kita kepada definisi permutasi yang mengandung unsur yang sama: Misalnya suatu himpunan yang terdiri atas n elemen memiliki r1 elemen jenis pertama yang sama, r2 elemen jenis kedua yang sama, ., dan rk elemen jenis ke k yang sama, dengan :

r1 + r2 + . rk < n

maka banyak permutasi berbeda dari n elemen diberikan oleh :

Contoh :

1. Jika huruf-huruf pada kata “BOROBUDUR” dipertukarkan, berapa banyak susunan huruf berbeda yang dapat diperoleh?

Jawaban :

Pada kata BOROBUDUR terdapat 9 huruf dengan huruf B diulang 2 kali, huruf O diulang 2 kali, huruf R diulang 2 kali, dan huruf U diulang 2 kali. Banyaknya susunan huruf berbeda yang diperoleh diberikan oleh rumus berikut:

Permutasi Siklis

Permutasi siklis menganggap elemen disusun secara melingkar.

    h  a    
  g      b  
  f      c  
    e  d  

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak .

Contoh :

Sebuah keluarga terdiri atas 5 orang. Mereka akan duduk mengelilingi sebuah meja bundar untuk makan bersama. Berapa banyaknya cara agar mereka dapat duduk mengelilingi meja makan tersebut dengan urutan yang berbeda?

Jawaban :

Banyaknya cara agar 5 orang dapat duduk mengelilingi meja makan sama dengan banyak permutasi siklis 5 elemen, yaitu :

(5 -1)! = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

Dengan menganggap panjang untai (atau banyaknya elemen) adalah n, dan karena elemen awal tidak boleh diubah-ubah posisinya, maka banyaknya elemen yang dapat berubah-ubah posisinya adalah n-1. Dengan demikian kita cukup mempermutasikan elemen yang dapat berubah-ubah posisi saja, yaitu sebanyak .

Teorema Bayes

Dalam teori probabilitas dan statistika, teorema Bayes adalah sebuah teorema dengan dua penafsiran berbeda. Dalam penafsiran Bayes, teorema ini menyatakan seberapa jauh derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional ketika ada petunjuk baru.

Dalam penafsiran frekuentis teorema ini menjelaskan representasi invers probabilitas dua kejadian. Teorema ini merupakan dasar dari statistika Bayes dan memiliki penerapan dalam sains, rekayasa, ilmu ekonomi (terutama ilmu ekonomi mikro), teori permainan, kedokteran dan hukum. Penerapan teorema Bayes untuk memperbarui kepercayaan dinamakan inferens Bayes.

Rumus Teori Bayes :

Jadi, bisa dinyatakan P(A|B) berarti peluang kejadian A bila B terjadi dan P(B|A) berarti peluang kejadian B bila A terjadi.

Diagram Pohon Probabilitas

Diagram Pohon merupakan suatu diagram yang menyerupai pohon dimulai dari batang kemudian menuju ranting dan daun. diagram pohon dimaksudkan untuk membantu menggambarkan probabilitas atau probabilitas bersyarat dan probabilitas bersama. diagram pohon sangat berguna untuk menganaliusis keputusan-keputusan dimana terdapat tahapan-tahapan pekerjaan.

Pengukuran Penyimpangan : Range, Deviasi, dan Variasi

Pengukuran penyimpangan adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Macam-macam pengukuran penyimpangan yang sering digunakan adalah rentangan (range), rentangan antar kuartil, rentangan semi antar kuartil, simpangan rata-rata, simpangan baku, varians, koefisien varians, dan angka baku.

1.    Range (rentangan)

a. Untuk Data Tidak Berkelompok

Jarak atau kisaran nilai (range) merupakan ukuran paling sederhana dari ukuran penyebaran. Jarak merupakan perbedaan antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam suatu kelompok data baik data populasi atau sampel. Semakin kecil ukuran jarak menunjukkan karakter yang lebih baik, karena berarti data mendekati nilai pusat dan kompak.

Jarak (range) = Nilai Terbesar – Nilai Terkecil

Contoh 1

Berikut adalah laju inflasi dari negara Indonesia, Malaysia, dan Thailand. Hitunglah jarak (range)-nya.

Tahun	Laju Inflasi
	Indonesia	Malaysia	Thailand
2002	10	2	2
2003	5	2	1
2004	6	3	2
2005	17	6	4
2006	6	3	3

Penyelesaian :

Data	Indonesia	Malaysia	Thailand
Tertinggi	17	6	4
Terendah	5	2	1
Jarak	17 – 5 = 12	6 – 2 = 4	4 – 1 = 3

Contoh 2 :

Data nilai UAS Statistika

Kelas A : 90 80 70 90 70 100 80 50 75 70

Kelas B : 80 80 75 95 75 70 95 60 85 60

Langkah-langkah menjawab :

Urutkan dulu kemudian dihitung rentangannya.

Kelas A : 50 70 70 70 75 80 80 90 90 100

Kelas B : 60 60 70 75 75 80 80 85 95

Rentangan kelas A : 100 – 50 = 50

Rentangan kelas B : 95 – 60 = 35

b. Untuk Data Berkelompok

Range adalah selisih antara batas atas dari kelas tertinggi dengan batas bawah dari kelas terendah

Contoh : berikut ini adalah data yang sudah dikelompokkan dari harga saham pilihan pada bulan Juni 2007 di BEJ. Hitunglah Range dari data tersebut.

	Harga saham
1	160 – 303	2
2	304 – 447	5
3	448 – 591	9
4	592 – 735	3
5	736 – 878	1

Penyelesaian:

Range = batas atas kelas tertinggi – batas bawah kelas terendah

= 878 – 160

= 718

2.    Deviasi Rata-rata

           a. Untuk Data Tidak Berkelompok

Deviasi Rata-Rata ( Mean Deviation/Average Deviation) adalah rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya.  Rumusnya :

 

              b. Untuk Data Berkelompok

Deviasi rata-rata untuk data berkelompok dirumuskan sebagai berikut:

 

 

3.    Varians dan Standar Deviasi 

           a. Untuk Data Tidak Berkelompok

Varians dan Standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap penyimpangan rata-ratanya.

Varians adalah rata-rata hitung deviasi kuadrat setiap data terhadap rata-rata hitungnya. Rumusnya :

Standar Deviasi adalah akar kuadrat dari varians dan menunjukkan standar penyimpangan data terhadap nilai rata-ratanya. Rumusnya:

          b. Untuk Data Berkelompok

        Rumus varians untuk data berkelompok adalah sebagai berikut :

 

Sedangkan, rumus standar deviasinya adalah :

 

Daftar pustaka :

·      Purwanto & Suharyadi, (2007), Statistika untuk Ekonomi dan Keuangan Modern ed 2, Jakarta: Salemba Empat

·         http://ar-ridhwank.blogspot.com/2012/10/statistika-pengukuran-penyimpangan.html